마코위츠의 효율적 투자선

마코위츠의 효율적 투자선

1. 지배원리(dominance principle)

2. 마코위츠의 효율적 투자선의 도출

3. 최적 포트폴리오의 선택

 

1. 지배원리(dominance principle)

평균-분산 기준(mean-variance criterion)에 의해 개별자산과 포트폴리오를 평가할 시에 기대수익률과 위험의 두 요인을 고려하게 된다. 투자자산의 가치는 그 투자로부터 기대되는 수익률이 클수록 커지며, 반면에 위험이 클수록 작아진다. 따라서, 투자자들은 수많은 투자 대상 가운데에서 기대수익률이 높고 위험이 작은 투자안을 선택하게 된다.

예를 들어 다음과 같은 기대수익률과 표준편차를 갖는 4개의 포트폴리오가 있다고 가정하자.

 

위에서 제시한 4개의 포트폴리오 중에서 투자자의 최종 포트폴리오로서 어느 것을 선택할 것인가? 투자자가 합리적이라면, 같은 위험 수준하에서는 기대수익률이 가장 높은 포트폴리오를 선택할 것이며, 기대수익률이 동일하다면 위험이 가장 낮은 포트폴리오를 선택하게 될 것이다.

이러한 관점에서 본다면, 포트폴리오 (가)는 (나)와 동일한 기대수익률을 갖지만, 위험을 나타내는 표준편차가 낮기 때문에 포트폴리오 (나)를 지배하게 된다. 또한, 포트폴리오 (라)는 (다)와 동일한 표준편차를 나타내지만, 기대수익률이 높기 때문에 포트폴리오 (다)를 지배하게 된다. 현대 투자론에서는 이것을 지배원리(dominance principle)라고 부른다.

지배원리란 같은 위험 하에서는 기대수익률이 높은 것이, 같은 기대수익률 하에서는 위험이 작은 것이 그렇지 않은 투자대상을 지배한다는 것이다. 이 지배원리에 입각하여 선택되는 투자안이 효율적 투자대상(efficient investment)이다. 위의 예에서는 포트폴리오 (가)와 (라)가 효율적 투자대상이 된다. 그러나, 효율적 투자대상인 (가)와 (라)사이에서의 우열을 가리기가 어렵다. 특정 투자자가 이들 효율적인 투자대상들 중에서 어떤 것을 최적의 포트폴리오로 선택하느냐 하는 문제는 단지 그 투자자가 선호하는 위험 수준에 달려있다.

 

2. 마코위츠의 효율적 투자선(efficient frontier)

여러 개의 개별 주식이 있을 때, 이들 위험이 있는 개별 주식으로 구성되는 포트폴리오는 수없이 많다. 자산의 구성비(ω)가 다름에 따라 얼마든지 다른 투자안이 될 수 있을 것이다. 각 자산의 기대수익률, 기대되는 분산, 그리고 각 주식수익률간의 상관관계를 알면, 포트폴리오 수학을 이용하여 이론적으로 선택 가능한 모든 포트폴리오의 기대수익률과 위험을 계산할 수 있다.

어느 증권시장에서 거래되는 모든 개별자산들과 그리고 이들 개별자산들로 구성된 선택 가능한 모든 포트폴리오의 기대수익률과 위험과의 관계를 그래프로 나타낸 것이 [그림 7-3]이다.

 

위의 그림에서 곡선 AB상에 나타난 모든 점들과 그 아래 반달 모양을 이루는 부분에 나타난 모든 점들은, 그 각각이 투자 가능한 모든 개별자산이나 포트폴리오를 나타내는 투자기회 집합(opportunity set)을 의미한다.

투자기회 집합에 나타나 있는 수많은 개별자산과 포트폴리오 중에서 효율적인 포트폴리오를 구별하는 문제는 앞에서 설명한 지배원리를 이용하면 간단히 해결될 수 있다. 즉 동일한 위험 수준을 가지는 투자대상 가운데 기대수익률이 가장 높은 투자안을 찾으면, 그 투자안이 해당 위험 수준에서 가장 효율적인 투자안이 되는 것이다. 이와 마찬가지로, 동일한 기대수익률을 가지는 투자대상 가운데 위험 수준이 가장 낮은 투자안을 선택하면, 그것이 해당 기대수익률에서 가장 효율적인 투자안이 되는 것이다.

예를 들어, [그림 7-3]에서 위험 수준이 σ₁인 투자대상은 C와 D를 포함하여 F와 E₁을 잇는 직선 상에서 존재하는 수많은 개별자산과 포트폴리오가 모두 이에 해당한다. 이 중에서 효율적인 투자안은 지배원리에 의해 위험수준이 σ₁이면서 기대수익률이 가장 높은 투자안 E₁이 된다. 동일한 논리로, 일정한 위험 수준 하에서 기대수익률이 가장 높은 투자안을 선택하게 된다면, 이들 투자안은 모두 위의 그림에서 곡선 AB상에 존재하게 될 것이다.

붉은 색으로 표시된 곡선 AB상의 모든 포트폴리오는 지배원리에 의해 효율적 투자안을 나타내기 때문에 이를 효율적 투자선 혹은 효율적 프론티어(efficient frontier)라고 부른다. 이 이론은 1952년 마코위츠(Markowitz)가 발표한 논문에서 주장한 것이므로, 이를 마코위츠의 효율적 프론티어라고 한다.

 

3. 최적 포트폴리오의 선택(portfolio selection)

효율적 포트폴리오(efficient portfolio)는 효율적 투자선인 곡선 AB 상에 무수히 많다. 이렇게 무수히 많은 효율적 포트폴리오 중에서 어떤 것이 특정 투자자에게 가장 가치있는 최적의 포트폴리오가 될 수 있는가? 투자자들은 이들 중 어떤 포트폴리오를 자신의 최적 포트폴리오로 선택해야 하는가?

마코위츠는 1952년 그의 논문 "Portfolio Selection"에서 개별 투자자의 무차별곡선을 도입하여 각 투자자의 효용을 극대화시키는 최적 포트폴리오의 선택 방법을 설명하고 있다. 개별 투자자들의 무차별곡선(indifference curve)을 추정할 수 있다는 가정 하에서, 이를 이용한 최적 포트폴리오의 선택 방법은 [관련자료]에서 제시한 참고 서적에서도 많이 인용하고 있기 때문에 본 강의에서는 이를 생략하기로 한다. 관심있는 학생들은 관련 서적을 참조하기 바란다.

여기서는, 무차별곡선을 이용하지 않고 보다 현실적인 접근법으로, 개별 투자자들이 그들의 효용에 관한 무차별곡선을 추정해 낼 수 없다는 가정 하에서 최적의 포트폴리오를 선택하는 방법을 설명하고자 한다.

개별 투자자들이 그들의 무차별곡선을 추정해 낼 수 없을 때 포트폴리오 관리(portfolio management)의 실질적인 목적은, 개별 투자자들이 기꺼이 부담할 수 있는 위험수준 하에서 기대수익률을 극대화하는 효율적 포트폴리오를 선택하는 것이다. 즉 개별 투자자가 그 자신의 위험선호(risk preference)를 알 수 있을 경우, 최적 포트폴리오의 선택 방법은 그가 선호하는 위험 수준 하에서 최대의 기대수익률을 가져다 주는 효율적인 포트폴리오를 선택하는 것이다.

이를 다음 [그림 7-4]에서 제시하고 있는 예를 이용하여 간단히 설명해 보자.

 

어떤 투자자가 현재 보유하고 있는 포트폴리오가 X점에 위치한다고 가정해 보자. X점은 효율적 프론티어 상에 존재하고 있지 않기 때문에 효율적 포트폴리오가 아니므로, 투자자는 자신이 현재 보유하고 있는 포트폴리오 X를 재구성(rebalancing)하여야 한다. 이 때, X점보다 효율적인 포트폴리오가 존재하는 영역은 XYZ이다. 투자자가 선택할 수 있는 재구성 방향은 Y점이나 Z점의 포트폴리오로 나눌 수 있다.

그러나, 대부분의 투자자들은 그들이 선호하는 위험 수준을 변경하지 않으려 하기 때문에, 자연히 X점과 동일한 위험 수준 하에서 최대의 기대수익률을 가져다 주는 효율적 포트폴리오인 Z점을 최적 포트폴리오로 선택하게 된다.

따라서, 개별투자자들의 무차별곡선을 추정해 낼 수 없을 때, 투자자가 선호하는 위험 수준 하에서 최대의 기대수익률을 가져다 주는 효율적 포트폴리오를 효율적 프론티어 상에서 선택하는 것이 실질적인 최적 포트폴리오의 선택 방법이다.